De Maxwell a Einstein… y 100 años de belleza (parte II)

Hoy les hablo no como ciudadano estadounidense, ni tampoco como judío, sino como ser humano

Así empezaba la carta que debía leer Albert Einstein en el séptimo aniversario de la creación del Estado de Israel. No llegó a pronunciar aquel discurso. Sus 76 años fueron suficientes para maravillar al mundo. Pacifista convencido, llegó a afirmar antes de la creación de Israel que:

La idea de un Estado (judío) no coincide con lo que siento, no puedo entender para qué es necesario. Está vinculada a un montón de dificultades y es propia de mentes cerradas. Creo que es mala.

Nosotros, esto es, judíos y árabes, debemos unirnos y llegar a una comprensión recíproca en cuanto a las necesidades de los dos pueblos, en lo que atañe a las directivas satisfactorias para una convivencia provechosa.

Y en lo que se refiere a la religión, se declaró agnóstico:

Mi religión consiste en una humilde admiración del espíritu superior que se revela en los más pequeños detalles que podemos percibir con nuestra frágil y débil mente.

Este post rememora los cien años de relatividad, de relatividad general. Einstein presentó su teoría de la relatividad general en noviembre de 1915 en la Academia Prusiana. En aquellas conferencias reveló una nueva forma de entender, sobre todo, la gravedad.

Cuando la comunidad científica no había digerido aún aquella reciente relatividad especial (1905), que decía que las leyes físicas debían permanecer invariantes entre observadores que se mueven a velocidad constante entre ellos, sólo 10 años después allí estaban las ecuaciones que hacían que las leyes físicas siguieran manteniéndose entre observadores que se mueven con aceleración uno respecto del otro. Según la relatividad especial, para que la velocidad de la luz fuese constante para cualquier observador (lo que cuadraba con la experiencia) el espacio-tiempo debía estar curvado, lo que sería el espacio tetradimensional que representaba perfectamente la transformación de Lorentz. Pero la relatividad general (1915) explicó que la cuvatura era consecuencia de la fuerza de la gravedad, o al revés que en este caso es lo mismo, que el campo gravitatorio genera una mayor o menor curvatura de ese espacio tetradimensional. Puede parecer muy farragoso pero en esencia la idea era sencilla (principio de equivalencia), el desarrollo matemático es cosa bien distinta. La fuerza gravitatoria ya se entendía muy bien; su relación con la materia (masa) a través de la constante de gravitación universal de Newton estaba clara, sólo había que encajar esa pieza del puzzle en el nuevo espacio-tiempo, y esto fue encontrar el tensor métrico a través del cual se puede expresar la gravedad en función de las propiedades del espacio-tiempo (curvatura).

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Empecemos por la relatividad especial en las ecuaciones de Maxwell.

Si retomamos la Ley de la inducción eléctrica de Faraday-Lenz, decíamos que si despreciamos la inducción (B), tenemos que rot(E)=0, lo que implica que existe una función potencial eléctrico (V) tal que E=-grad(V). Bien, pues no despreciemos la inducción (B), vamos a forzar la existencia de un potencial:

potencial de E

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De Maxwell a Einstein… y 100 años de belleza (parte I)

Recordar brevísimamente la historia del electromagnetismo es recordar la unificación de las teorías de campos eléctricos y magnéticos, en las llamadas ecuaciones de Maxwell, de James Clerk Maxwell. Si Einstein es el artífice de “la belleza” en el siglo XX, Mawell lo fue en el XIX:

Ecuaciones-Maxwell

Primero decir que las ecuaciones de Maxwell son las que aparecen en la columna de “sin monopolos magnéticos”, que son las definen el comportamiento de la naturaleza tal como la conocemos, hasta el momento. Las otras dos columnas son para los expertos en física cuántica:

http://lahoracero.org/monopolos-magneticos/

http://francis.naukas.com/2010/05/02/el-monopolo-magnetico-y-un-inolvidable-dia-de-san-valentin-para-el-fisico-espanol-blas-cabrera/

1. Según la Ley de Gauss, las líneas del campo eléctrico son abiertas. Sabemos que existen cargas eléctricas positivas y negativas (monopolos), que generan el campos eléctricos, pero también dipolos. Por eso aparece ahí la densidad volumétrica de carga eléctrica. El número de líneas de campo eléctrico que atraviesan una superficie cerrada es igual a un escalar, luego las líneas son abiertas. Y si queremos, podemos medir el escalar de flujo eléctrico en un diferencial de superficie.

2. Sin embargo, la Ley de Gauss para el magnetismo dice que las líneas del campo son cerradas, que no existen monopolos magnéticos. Si rompemos un imán, tendremos dos imanes, y cada uno de ellos será un dipolo mágnético (no se pueden separar los denominados polos N y S magnéticos), hasta el momento. Igual que podemos medir el flujo eléctrico, podemos medir el flujo magnético, que es número de líneas de campo que atraviesan un diferencial de superficie. Pero si medimos el número de líneas que entran y salen de una superficie cerrada, esto es cero. Entran y salen el mismo número de líneas, por lo que son cerradas, hasta el momento (no existen monopolos magnéticos).

Las dos primeras ecuaciones de Maxwell son la expresión de la divergencia de los campos vectoriales eléctrico y magnético. Recordar que “nabla” tiene forma de vector, que multiplicado escalarmente por el campo nos da un escalar. Si quieres recordar esto:

http://www.ugr.es/~rpaya/documentos/Teleco/Fund-Mat02.pdf

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Eclipse Solar catapulta la relatividad general.

Ya sabéis, el próximo 20 de Marzo, eclipse solar.

Eclipse Solar, 20 Marzo 2015
Eclipse Solar, 20 Marzo 2015

Pero ya hay mucha información acerca de él. Hoy quiero hablar del eclipse solar del 29 de Mayo de 1919.

Con la teoría de la relatividad general recién publicada, en 1915, la Ley de Gravitación Universal de Newton impera para explicar la mecánica de los cuerpos en gravedad. Pero aquel Mayo de 1919, algo pasa con la luz cuando ésta se acerca a un gran campo gravitatorio.

El Sr. Arthur Stanley Eddinton viaja a la isla de Príncipe, cerca de África, para fotografiar el eclipse solar total que tuvo lugar el 29 de Mayo de 1919. Objetivo: comprobar una predicción de la teoría general de la relatividad, que la luz no viaja como una línea recta perfecta, sino que se debe curvar al pasar cerca de un campo gravitatorio. Cuando uno enuncia una teoría debe estar “a las duras y a las maduras”, y para entender el espacio-tiempo, según Einstein, no sólo es que la velocidad de la luz constituye un límite con independencia del sistema de referencia elegido (relatividad especial), sino que además ese espacio-tiempo está deformado por las masas (relatividad general). Esto quiere decir que, en presencia de una masa importante, cualquier cosa que pase por el espacio-tiempo (incluida la luz) deberá experimentar un cambio de trayectoria debido a aquella deformación:

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Mercurio en la relatividad de Einstein.

Como  ya comentaba Einstein en su apartado Introducción a la Teoría de la Relatividad General, una de las pruebas más valoradas para la validez de la teoría era su capacidad para estimar correctamente la llamada “anómala precesión del perihelio de Mercurio”.

En este artículo vamos a explicar qué es exactamente la precesión del perihelio y cómo lo explica la Relatividad General.

En cuanto a qué es el perihelio, es el punto de la órbita de un planeta en el que se encuentra lo más cerca posible del Sol. Lo explicábamos en:

https://principiatechnologica.com/wp-content/uploads/2013/06/24/afelio-y-perihelio-de-la-tierra-apogeo-y-perigeo-de-la-luna/

También decíamos que, en el caso de La Tierra, nada tiene que ver con los solsticios o las estaciones.

ANTECEDENTES

La precesión de las órbitas era un fenómeno conocido mucho antes de la Relatividad de Einstein.

De hecho, se da en todo planeta, no sólo en el caso de Mercurio. Y la cuantía de la precesión del perihelio y afelio ya se podía calcular a través de la mecánica de Newton.

Concretamente, en el caso de La Tierra, el perihelio y el afelio tienen un movimiento de rotación, y avanzan hacia el este a lo largo de la eclíptica a una velocidad angular de unos 6 segundos anuales en relación con las estrellas fijas. A esta velocidad, tardará unos 200.000 años en hacer una revolución completa.

Esta precesión acorde a la mecánica de Newton se atribuye a la existencia de otras fuerzas gravitacionales en el Sistema Solar, especialmente a Júpiter y Venus.

Además, tal como vimos en “En los días del mundo, no todo es rotación”, en La Tierra, tenemos la precesión de los equinoccios:

https://principiatechnologica.com/wp-content/uploads/2013/07/25/en-los-dias-del-mundo-no-todo-es-rotacion/

Esta precesión, tal como explicamos no es debida a la rotación de la órbita, sino a la variación de la inclinación de La Tierra (balanceo de los polos).

Por tanto, finalmente, tendremos un movimiento combinado de ambos.

LONGITUD DEL PERIHELIO

Se define como longitud del perihelio el ángulo que forman la línea del equinoccio con la línea del perihelio, tomando como origen el semieje del equinoccio de otoño. Actualmente este ángulo es de 101,4º y está aumentando. (Se puede calcular de modo aproximado contando los días que van del equinoccio de otoño, 22 de septiembre al perihelio, 3 de enero: 104 días. La longitud del perihelio será, aproximadamente, de 104/365,25×360 = 102,5º)

Actualmente el perihelio se encuentra en medio de Sagitario. Sin embargo, en tiempos del Antiguo Egipto, se encontraba cerca del borde oeste de Sagitario.

Cuando coinciden el perihelio y el equinoccio de primavera la longitud del perihelio es de 180º. La última coincidencia sucedió hace unos 17.000 años, en Escorpión, cerca de Libra, y volverán a coincidir dentro de unos 6.000 años en Sagitario, cerca del borde con Capricornio.

La duración de un ciclo completo de precesión (tiempo que transcurre entre que coinciden el perihelio y el equinoccio de primavera) es actualmente de unos 23.000 años, según se puede ver en el gráfico que muestra su evolución a lo largo del tiempo.

EL PROBLEMA DE MERCURIO

El problema en el caso de Mercurio era que, según la mecánica de Newton, los cálculos no se correspondían con las observaciones astronómicas del planeta.

Según las leyes de Newton, la órbita de Mercurio tenía que girar a razón de 0,575 segundos de arco por siglo, que es lo mismo que decir que al cabo de 225.000 años dicha elipse daría una vuelta completa. Al fin y al cabo, era normal que Mercurio tuviese una órbita más estable, es el planeta que más cerca se encuentra del Sol. Sin embargo, según las observaciones se había comprobado que, en realidad, giraba a razón de 43 segundos de arco por siglo, lo que equivaldría a decir que en “sólo” 31.000 años daría una vuelta. Poco más que La Tierra a pesar de la diferente atracción gravitatoria del Sol, y unos cuantos miles de años de diferencia con respecto a los cálculos.

Explicar esta desmesurada precesión de la órbita de Mercurio no fue posible hasta la llegada de, una vez más, la Relatividad General.  Este incremento anómalo de la precesión de su órbita podríamos verlo así:

avance del perihelio de la orbita de los planetas

Einstein, aplicando sus ecuaciones de la relatividad general… !Oh, sorpresa! Obtuvo el valor exacto de la precesión de la órbita de Mercurio que concordaba con las observaciones, es decir, 43 segundos de arco por siglo. Esto le llevó a estar tan seguro de que su teoría era cierta que, en una carta a Arnold Sommerfeld, Einstein escribía:

Usted se convencerá de la Relatividad General una vez la haya estudiado. Por consiguiente, no voy a decir una palabra en su defensa.

Si os interesan los cálculos exactos:

http://www.universoviviente.com/precesio.html

Aquí vamos a dar una explicación de este fenómeno.

EXPLICACIÓN

El problema se reduce a que, según la teoría de la relatividad general, el tiempo está curvado por la gravedad.

Esto significa que un observador en un planeta afectado por una fuerza gravitatoria mayor, pongamos Mercurio, verá pasar el tiempo de manera ligeramente más lenta que en La Tierra.

Veamos, si para un observador de Mercurio en La Tierra, colocamos la gráfica espacio-tiempo que nos enseñaban en el Instituto, la velocidad del planeta será la pendiente de dicha gráfica (o la derivada).

Si ahora queremos llevar esta misma gráfica a un observador mercuriano, con la dilatación temporal, tenemos que el eje de tiempo se estira. Esto hace que la pendiente de la gráfica sea menor, y por tanto la velocidad observada en Mercurio es también menor que la observada en La Tierra.

Y lo mismo sucede con el espacio recorrido. Ponemos en La Tierra el cronómetro a cero, cuando el tiempo medido es igual al período de la órbita de Mercurio, el mismo crono en Mercurio marca un tiempo menor. Por lo tanto, en realidad, para el observador en Mercurio, el planeta no ha llegado a dar la vuelta completa (ha recorrido un espacio menor al esperado en La Tierra según la cinemática clásica).

Si la órbita fuese una circunferencia en vez de una elipse, plantearíamos las ecuaciones de la relatividad aplicada al movimiento circular uniforme, y veríamos que cuando el observador en La Tierra mide una vuelta (2Π rad), el observador en Mercurio ha medido menos de una vuelta. Esto produce el efecto de que en La Tierra se observe que la órbita de Mercurio gira (más de lo esperado según Las Leyes de Newton).

La órbita no es una circunferencia sino una elipse, en el caso de Mercurio muy excéntrica además. Por tanto la velocidad no es constante como en el movimiento circular uniforme, pero el ángulo recorrido por Mercurio observado en el propio planeta es siempre ligeramente menor que el observado en La Tierra.

El observador de Mercurio siempre dirá que su órbita no gira, que sus vueltas son de 2Π rad, y que son las órbitas de los demás planetas del Sistema Solar las que giran en sentido inverso.

Simplemente, relatividad.