De Maxwell a Einstein… y 100 años de belleza (parte II)

Hoy les hablo no como ciudadano estadounidense, ni tampoco como judío, sino como ser humano

Así empezaba la carta que debía leer Albert Einstein en el séptimo aniversario de la creación del Estado de Israel. No llegó a pronunciar aquel discurso. Sus 76 años fueron suficientes para maravillar al mundo. Pacifista convencido, llegó a afirmar antes de la creación de Israel que:

La idea de un Estado (judío) no coincide con lo que siento, no puedo entender para qué es necesario. Está vinculada a un montón de dificultades y es propia de mentes cerradas. Creo que es mala.

Nosotros, esto es, judíos y árabes, debemos unirnos y llegar a una comprensión recíproca en cuanto a las necesidades de los dos pueblos, en lo que atañe a las directivas satisfactorias para una convivencia provechosa.

Y en lo que se refiere a la religión, se declaró agnóstico:

Mi religión consiste en una humilde admiración del espíritu superior que se revela en los más pequeños detalles que podemos percibir con nuestra frágil y débil mente.

Este post rememora los cien años de relatividad, de relatividad general. Einstein presentó su teoría de la relatividad general en noviembre de 1915 en la Academia Prusiana. En aquellas conferencias reveló una nueva forma de entender, sobre todo, la gravedad.

Cuando la comunidad científica no había digerido aún aquella reciente relatividad especial (1905), que decía que las leyes físicas debían permanecer invariantes entre observadores que se mueven a velocidad constante entre ellos, sólo 10 años después allí estaban las ecuaciones que hacían que las leyes físicas siguieran manteniéndose entre observadores que se mueven con aceleración uno respecto del otro. Según la relatividad especial, para que la velocidad de la luz fuese constante para cualquier observador (lo que cuadraba con la experiencia) el espacio-tiempo debía estar curvado, lo que sería el espacio tetradimensional que representaba perfectamente la transformación de Lorentz. Pero la relatividad general (1915) explicó que la cuvatura era consecuencia de la fuerza de la gravedad, o al revés que en este caso es lo mismo, que el campo gravitatorio genera una mayor o menor curvatura de ese espacio tetradimensional. Puede parecer muy farragoso pero en esencia la idea era sencilla (principio de equivalencia), el desarrollo matemático es cosa bien distinta. La fuerza gravitatoria ya se entendía muy bien; su relación con la materia (masa) a través de la constante de gravitación universal de Newton estaba clara, sólo había que encajar esa pieza del puzzle en el nuevo espacio-tiempo, y esto fue encontrar el tensor métrico a través del cual se puede expresar la gravedad en función de las propiedades del espacio-tiempo (curvatura).

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Empecemos por la relatividad especial en las ecuaciones de Maxwell.

Si retomamos la Ley de la inducción eléctrica de Faraday-Lenz, decíamos que si despreciamos la inducción (B), tenemos que rot(E)=0, lo que implica que existe una función potencial eléctrico (V) tal que E=-grad(V). Bien, pues no despreciemos la inducción (B), vamos a forzar la existencia de un potencial:

potencial de E

Donde Φ es el potencial eléctrico (escalar) de toda la vida. Pero A es el vector potencial magnético (pequeña invención) tal que rot(A)=B. Con estos dos potenciales se puede definir un cuadrivector 1-forma (co-vector), que sería el potencial electromagnético A (cuadripotencial) o potencial universal:

cuadripotencialLo interesante de este cuadripotencial es que son cuatro componentes (un escalar y un vector de tres dimensiones) que dependen de cuatro variables (tres espaciales y una temporal). Bien, pues la diferencial exterior (una diferencial que satisface ciertas propiedades) del cuadripotencial es el tensor electromagnético (F=dA), una matriz que define el campo electromagnético:

tensor electromagnético

Tranquilos porque los matemáticos ya han hecho sus deberes. Resulta que la derivada o diferencial exterior de un cuadrivector 1-forma es en realidad un rotacional que da lugar a un campo bivector (F). Es lo que llaman álgebra del espacio-tiempo. De esta forma, conocidos E y B, a través de las derivadas parciales de sus componentes con respecto a las cuatro dimensiones, se puede hayar el cuadripotencial A. Con este vector se puede integrar la Ley de la inducción eléctrica (Faraday) con la Ley de inducción magnética (Ampére), y para hacerlo se define la cuadricorriente (J) :

cuadricorriente

Otro co-vector 1-forma, formado por el escalar de la carga eléctrica y las tres componentes del vector densidad de corriente. Con esta definición de J, la Ley de Ampére generalizada por Maxwell queda:

\, \delta F=\mu _0 J

Que expresando el tensor electromagnético en función del cuadripotencial es:

\Box^2 A=-\mu _0 J

D’Alembertiano (A)= -μ J

Y aquí está la relatividad especial.

El D’Alembertiano se representa con un cuadrado, y es la generalización al espacio de Minkowski del operador laplaciano ∇2. Esto quiere decir que en esta expresión no sólo están incluidas la inducción eléctrica y magnética, no sólo que es invariante a sistemas de referencia inerciales que se mueven a velocidad constante entre ellos, sino también que es válida para una métrica no plana, como el espacio curvo de la relatividad especial de Einstein.

Pero faltan las dos ecuaciones de Gauss, que corresponden a las ecuaciones homogéneas. Escritas en forma geométrica tenemos que:

\, \delta * F=0

Donde el tensor \, * F es el tensor dual de F. Se obtiene mediante el operador de Hodge.

¿Crees que aún falta la relatividad general en las ecuaciones de Maxwell? Pues no, la relatividad general no produce alteración en la curvatura del espacio-tiempo en las ecuaciones de Maxwell. Es decir, podemos considerar el espacio curvo que queramos en las ecuaciones de Maxwell, pero éstas no alteran el continuo espacio-tiempo,

¿Por qué? Porque el espacio-tiempo está curvado por la gravedad, que es consecuencia de la masa. Y la masa no aparece por ningún sitio en las ecuaciones de Maxwell, los fotones no tienen masa. Por lo tanto las ecuaciones de Maxwell son:

\, \delta * F=0
\Box^2 A=-\mu _0 J

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