TAC y rebanadas de Radon

Como sabéis, TAC es el acrónimo de Tomografía Axial Computerizada, eso que te hacen los médicos cuando quieren ver de qué estás hecho:

TAC
TAC

En la matemática de estos mecanismos subyacen la Transformada de Fourier y el Teorema de la Rebanada, que da lugar a la Transformada de Radon:

Rebanadas
Rebanadas

La pregunta es cómo se las ingenian estos aparatos para obtener una imagen de un corte transversal de nuestro cuerpo. Pues existen muchos tipos de tomografías, en función de la magnitud a medir. Por ejemplo, si hablamos de tomografía de absorción estamos hablando de Rayos X. Estos rayos son una radiación electromagnética ionizante (origina partículas con carga, iones) que puede ser considerada como otras ondas de radio, bien conocidas en los sistemas de comunicaciones. Al atravesar un cuerpo, éste absorbe las radiaciones en mayor o menor medida según su composición, de tal manera que un receptor de rayos recibe más o menos señal en cada punto de un plano. Y así tenemos nuestra radiografía.

Pero cómo obtenemos la radiografía de una sección de un cuerpo, sin cortarlo evidentemente.

Una señal bidimensional como una imagen es una representación de brillo (luz) en dos dimensiones. Si cambiamos la magnitud de brillo por la energía que recibe un sensor de rayos X tenemos una radiografía. La idea es la siguiente:

– La transformada de Fourier bidimensional de la radiografía es la distribución espectral de la energía en las dos dimensiones. Tomamos una imagen del paciente y obtenemos su espectro. El espectro bidimensional resultante es el pedazo de pan de la figura.

– Según el teorema de la rebanada, lo más importante, una sección del espectro bidimensional (una rebanada) ES la transformada de Fourier unidimensional de la proyección de la radiografía (dominio espacial). ¿Qué es esto de una proyección? Sería como meter una varilla recta al paciente, atravesarlo, y gracias a ese proceso conocer el módulo y la fase de la trasformada de Fourier unidimensional de la magnitud a medir a lo largo de esa varilla recta. El teorema nos dice que podemos conseguir ese espectro unidimensional como una rebanada del espectro bidimensional. Y eso es todo lo que tenemos, el espectro de una proyección.

– Si ahora cambiamos el ángulo de la proyección, tomaremos otra radiografía distinta, cuyo espectro será otro pedazo de pan distinto. Pero si tomáramos una rebanada de ese otro pedazo de pan, ya tendríamos el espectro de otra proyección.

– Si repetimos el proceso recorriendo los 360 grados de la sección transversal que se pretende obtener, cuantos más espectros unidimensionales tengamos, más fácil será reconstruir el espectro bidimensional.

– Por último, cuando tengamos el espectro bidimensional con resolución suficiente, conocidos el módulo y la fase se puede realizar la transformación inversa de Fourier, que es una radiografía de la sección, como si hubiésemos cortado al paciente.

Al final, la transformada de Radon es un cambio de variable que permite expresar en coordenadas polares la transformada de Fourier.

El desarrollo matemático en las transparencias 36 a 56 de:

http://www.cimat.mx/Eventos/2010veranodelasmatematicas/img/verano10_tomografia.pdf

Transformada de Radon
Transformada de Radon

 

 

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