¿Cómo se determinó la escala del sistema solar? Giovanni Cassini (II)

Como íbamos diciendo en la primera entrada,

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Hacia el siglo XVII, la experiencia y la física habían permitido calcular algunas de las magnitudes de La Tierra. Sin embargo, de otros cuerpos del Sistema Solar como La Luna o el propio Sol, poco se sabía.

Giovanni Cassini, apoyándose en las Leyes de Kepler, obtuvo el periodo orbital de los planetas cercanos: Júpiter, Marte y Venus. También decíamos que faltaba por relacionar estas observaciones con la Tercera Ley de Kepler. En este artículo vamos a hacerlo, pero antes vamos a ver cómo Giovanni Cassini obtuvo la distancia Tierra-Marte porque será relevante para determinar la escala del Sistema Solar, y con ello la distancia Tierra-Sol.

LA DISTANCIA A MARTE

Giovanni Cassini, para calcular la distancia a Marte, se valió de la observación del planeta en oposición, en un mismo instante de tiempo, desde dos lugares diferentes en La Tierra separados una distancia en línea recta conocida.

Observación en oposición
Observación en oposición

Aunque la cartografía y las mediciones de latitud y longitud no eran tan precisas como lo son hoy en día, gracias a las técnicas de navegación se medían ángulos y distancias sobre la superficie relativamente exactas. Y conocido el radio de La Tierra se podía determinar la distancia en línea recta entre dos lugares lejanos.

Así, Cassini con la ayuda de su colega Jean Richter, midió el ángulo desde el cual se veía Marte en oposición, al mismo tiempo desde dos lugares diferentes: París y Guayana Francesa. A esto se le llama paralaje.

Marte en oposición
Marte en oposición

Conocidos dos ángulos y un lado, por trigonometría puede obtenerse la distancia Tierra-Marte.

Desgraciadamente la distancia Tierra-Marte varía enormemente con el tiempo, pues debido a la órbita elíptica y excéntrica de ambos, unido a sus diferentes períodos orbitales, se cruzan cada año a diferentes distancias.

El Planeta Rojo está por término medio de la Tierra a unos 340 millones de kilómetros. Pero lo que nos interesa, cuando la Tierra y Marte se encuentran del mismo lado del Sol, se aproximan en promedio hasta 83 millones de kilómetros uno de otro. Pero por la órbita elíptica de Marte pueden llegar a aproximarse a una distancia de 48 millones de kilómetros. Tales aproximaciones sólo ocurren cada 32 años, y no siempre son iguales. Actualmente estamos en un período de cercanía.

Se desconoce el dato que obtuvo Cassini, pero probablemente calculase que en oposición, Marte se encontraba a unos 75 millones de kilómetros, porque es el dato que cuadra con la estimación que dio acerca de la distancia Tierra-Sol, calculada según la Tercera Ley de Kepler.

LA ESCALA DEL SISTEMA SOLAR

Veamos un poco de historia acerca de La Tercera Ley de Kepler:

Tercera Ley de Kepler. Se cumple que para todos los planetas, la razón entre el periodo de revolución al cuadrado y el radio orbital al cubo se mantiene constante. Esto es:

frac{T^2}{r^3}=k

La Tercera Ley de Kepler no se formuló hasta diez años después de las dos primeras. Esta constante k es precisamente la constante de proporcionalidad entre los períodos (al cuadrado) y las órbitas (al cubo) de los planetas del Sistema Solar. Lo que aquí hemos venido llamando “escala”.

Posteriormente, Isaac Newton formuló de nuevo la Tercera Ley de Kepler acorde a su Ley de Gravitación Universal:

La fuerza gravitacional crea la aceleración centrípeta necesaria para el movimiento circular:

frac{GMm}{r^2} = mfrac{v^2}{r}
M – Masa del Sol.
m – Masa del planeta orbital.

Por lo tanto, la masa del planeta es indiferente. Nos interesa la masa del Sol.

Además, esta igualdad se cumple en todo momento del tiempo, pero sabemos que las órbitas no son exactamente circulares, por lo tanto r (distancia planeta-sol) varía con el tiempo. Por esto mismo la velocidad tangencial varía con el tiempo. Y todo ello está relacionado, es decir: a mayor distancia al sol, mayor curvatura o radio de la órbita, menor velocidad tangencial (planeta ligeramente más lento), menor aceleración centrípeta, menor fuerza de interacción gravitatoria … Aunque la excentricidad de las órbitas hemos visto que no es muy grande.

El desarrollo matemático de esta expresión, promediada a lo largo de un período orbital, se conoce como Ley de Gauss para Campo Gravitatorio. Gauss demostró que, considerando un período completo, la distancia al planeta puede sustituirse por la longitud del semieje mayor de la elipse de la órbita. Dicho de otro modo, el semieje mayor de la órbita es la distancia media planeta-sol. Luego esta Tercera Ley de Kepler fue reformulada por Gauss:

Al reemplazar la velocidad v por left(frac{2pi r}{T}right) (el tiempo de una órbita completa) obtenemos

T^2 = frac{4pi^2}{GM}r^3

Donde, T  es el periodo orbital, r  el semieje mayor de la órbita, M es la masa del cuerpo central y G  una constante denominada Constante de gravitación universal cuyo valor marca la intensidad de la interacción gravitatoria y el sistema de unidades a utilizar para las otras variables de esta expresión.

LA UNIDAD ASTRONÓMICA (UA)

La Unidad Astronómica es por definición la distancia media Sol-Tierra, que se corresponde con el semieje mayor de la órbita de La Tierra.

Por lo tanto, según lo visto hasta ahora, aplicando la Tercera Ley de Kepler para los planetas Tierra y Marte, Cassini pudo calcular k, el factor de escala del Sistema Solar:

frac{T^2}{r^3}=k

Porque con esta expresión se obtiene un sistema de ecuaciones en el que hay que despejar el valor de la Unidad Astronómica:

Para La Tierra T=365 días, r=1UA

Para Marte T=687 días, r=1UA+(distancia Tierra-Marte)

El cálculo del período orbital de Marte y otros planetas lo vimos en la primera parte de este artículo y la distancia Tierra-Marte, al comienzo.

Según Giovanni Cassini, la Unidad Astronómica medía 139 millones de kilómetros. Ha pasado a la historia por obtener por primera vez este dato con un error de un 7% por defecto.

CONCLUSIONES

Lo más importante no es la medida de la Unidad Astronómica, es que conocido este dato, como decíamos puede determinarse k, que es constante para todos los planetas del Sistema Solar. 

Por lo tanto, puede conocerse la distancia media de cada planeta al Sol, sólo con medir su período orbital.  Por ejemplo, Cassini supo que Júpiter está 5 veces más lejos del Sol que la Tierra (5UA) , mientras que Saturno está 10 veces más lejos (10UA).

Pero no sólo eso, tal como estableció Newton, conocido k podía obtenerse el producto G M.

Calcular G es complicado, se han realizado muchos experimentos para obtenerlo de manera precisa y uno de los más aceptados es la Experiencia de Cavendish. Hablábamos de ello en:

¿Por qué La Tierra está achatada por los polos? La Masa de La Tierra.

https://principiatechnologica.com/wp-content/uploads/2013/03/23/por-que-la-tierra-esta-achatada-por-los-polos-la-masa-de-la-tierra/

El valor de G se obtuvo por tanto posteriormente, en el siglo XVIII. Y gracias a este valor, puede calcularse la Masa del Sol, unas 333.000 veces la Masa de La Tierra.

Pero no sólo eso, además, iniciábamos estos dos artículos preguntándonos cómo calcular la masa de otros planetas, no sólo la de La Tierra. Pues bien, al igual que la Tierra gira alrededor del Sol y hemos calculado su masa, muchos planetas tienen satélites que orbitan alrededor de ellos, y los astrónomos se han valido de esta misma formulación para calcular la masa de los planetas.

Como hemos visto, tienen que estimar primero los períodos de las órbitas y las distancias medias entre ellos.

Los datos reales que manejamos actualmente son los siguientes:

Planetas

CUADRO

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