¿Por qué La Tierra está achatada por los polos? La Masa de la Tierra

En continuación con el post anterior, para seguir obteniendo datos acerca de las dimensiones de La Tierra, tenemos que esperar muchos años en la historia para que se obtengan datos relacionados con el achatamiento de los polos. Hasta el siglo XVII no se realizan experimentos que, mediante péndulos, permiten calcular el producto GM. Este producto es mucho más sencillo de calcular, G es la Constante de Gravitación Universal de Newton y M la Masa de La Tierra, lo que realmente estamos buscando.

El cálculo de la aceleración de la gravedad es sencillo aplicando la formulación del movimiento rectilíneo uniformemente acelearado, tomamos datos de espacio y tiempo de la experiencia de un cuerpo en caída libre, y g=9,8 m/s2

Simplificando un poco, podemos despreciar la rotación terrestre y suponer que la Tierra es esférica. en la superficie de la Tierra es entonces g=GM/R², donde R es el radio medio de la Tierra, cuya muy buena aproximación tenemos de Eratóstenes. Despejando esta expresión ya obtenemos el producto GM.

Sin embargo, otra forma de cálculo del producto GM es a través de la experiencia, midiendo el periodo de osilación de un péndulo. Si tenemos un péndulo simple de longitud , la aceleración de la gravedad produce un periodo de oscilación T=2π√(ℓ/g). Por lo tanto, el conocimiento de la longitud y una medida de la duración del período T permite determinar el producto de GM con la fórmula:

GM = frac{4 pi^2 l R^2}{T^2}

Explicación física del péndulo:  http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/pendulo/pendulo.htm

Incluso antes de la publicación de los Principia, estos resultados permitieron a Newton confirmar la teoría del achatamiento de la Tierra y la teoría de la gravitación. Pero, para determinar por separado G o M,  Isaac Newton propuso dos métodos diferentes:

  • Medir la atracción en el laboratorio de dos cuerpos de masas conocidas y separados entre sí por una distancia conocida, a fin de determinar G,
  • Medir la desviación de la plomada respecto de la vertical cerca de una montaña de masa calculable M’ para estimar la relación M/M’, y por lo tanto la masa M de la Tierra.

Determinar G

Ambos métodos no tienen nada de sencillos y hoy en día se sigue tratando de obtener tanto G como M con mayor precisión. La realidad es que el cálculo de G no se intentaría hasta después de la muerte de Newton, a través del método que él sugirió, si bien es cierto que erró cuantiosamente en la valoración de esta constante cuando, refiriéndose a la atracción que dos esferas del tamaño de La Tierra experimentarían escribió: “si distasen entre sí solamente 1/4 de pulgada, no se unirían por la acción de su atracción mutua, incluso sin rozamiento, en un tiempo menor de un mes … De hecho, incluso montañas enteras, no serían suficientes para producir un efecto notable.” 

Hasta el siglo XVIII, no se llegó a un resultado aceptado por la comunidad científica del valor de G, fundamentado en el método de Newton, el experimento de Cavendish permitió medir con exactitud dicha constante. Continuaron realizándose experimentos similares durante los siglos XIX y XX, y experiencias más recientes han cambiado ligeramente el valor de G aceptado actualmente (a saber G = 6,672(59 ± 84) x 10–11 m³kg–1s–2). Conocido este valor y el producto GM, se puede obtener la Masa de la Tierra.

Explicación pormenorizada del experimento:  http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/constante/constante.htm

Pero la incertidumbre de la masa M de la Tierra, y de cualquier otra masa cósmica, es proporcional a la incertidumbre que posee el valor de G. Actualmente, se conoce el producto G·M con una precisión muy grande gracias a los satélites artificiales y a la geodesia espacial, pero los valores de G, y por tanto de M, no son conocidos más que con una precisión relativa del orden de 10–4 a 10–5.

Determinar M

Para determinar M de acuerdo al método de Newton, vamos a definir qué es la plomada:

Una plomada es una pesa normalmente de metal de forma cilíndrica o prismática, la parte inferior de forma cónica, que mediante la cuerda de la que pende marca una línea vertical; de hecho la vertical se define por este instrumento.

Bien, esta plomada de masa m (pequeña) será atraída como apunta Newton por la Masa (grande) de una montaña, cerca de su centro de masas, desviando la vertical un cierto ángulo en comparación con la vertical que se obtendría a nivel de suelo. Este razonamiento también ha dado lugar a múltiples experimentos a lo largo de la historia, como la experiencia de Bouguer en el Chimborazo o la experiencia de Maskelyne en el monte Schiehallion.

Sin embargo, los experimentos de desviación de la plomada demostraron que no era posible determinar la masa de la Tierra con menos del 10% de error por el método de la desviación de la vertical. La razón radica en una cierta compensación por los efectos de la atracción de las montañas por un mecanismo llamado isostasia. Esto ha hecho que el problema de obtención de M se haya reducido a obtener G y el producto GM.

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